SChand CLASS 9 Chapter 4 Factorisation Exercise 4(H)

 Exercise 4(H)

Question 1

a³ + 1

Sol :

$=x^{3}+1$

$=(x)^{3}+(1)^{3}$

$=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)$

Question 2

x³ + 8

Sol :

$=x^{3}+8$

$=(x)^{3}+(2)^{3}$

$=(x+2)\left[(x)^{2}-x \times 2+(2)^{2}\right]$

$=(x+2)\left(x^{2}-2 x+4\right)$

Question 3

8x³ + 1

Sol :

$=8 x^{3}+1$

$=(2 x)^{3}+(1)^{3}$

$=(2 x+2)\left[(2 x)^{2}-2 x \times 2+(1)^{2}\right]$

$=(2 x+1)\left(4 x^{2}-2 x+1\right)$

Question 4

x³ – 27

Sol :

$=x^{3}-27$

$=(x)^{3}-(3)^{3}$

$=(x-3)\left[(x)^{2}+x \times 3+(3)^{2}\right]$

$=(x-3)\left(x^{2}+3 x+9\right)$

Question 5

a³ – 8

Sol :

$=a^{3}-8$

$=(a)^{3}-(2)^{3}$

$=(a-2)\left[(a)^{2}+a \times 2+(2)^{2}\right]$

$=(a-2)\left(a^{2}+2 a+4\right)$

Question 6

27m³ – 8

Sol :

$=27 m^{3}-8$

$=(3 m)^{3}-(2)^{3}$

$=(3 m-2)\left[(3 m)^{2}+3 m \times 2+(2)^{2}\right]$

$=(3 m-2)\left[(9 m)^{2}+6 m+4\right]$

Question 7

x³+ 64

Sol :

$\begin{aligned} =& x^{3}+64 \\= &\left(x^{3}\right)+(4)^{3} \\=&(x+4)\left[(x)^{2}-x \times 4+(4)^{2}\right] \\=&(x+4)\left(x^{2}-4 x+16\right) \end{aligned}$

Question 8

$8 a^{3}-b^{6}$

Sol :

$\begin{aligned} =& 8 a^{3}-b^{6} \\=&(2 a)^{3}-\left(b^{2}\right)^{3} \\=&\left(2 a-b^{2}\right)\left[(2 a)^{2}+2 a \times b^{2}+\left(b^{2}\right)^{2}\right] \\=&\left(2 a-b^{2}\right)\left(4 a^{2}+2 a b^{2}+b^{4}\right] \end{aligned}$

Question 9

$x^{6}+8 b^{3}$

Sol :

$\begin{aligned} =& x^{6}+8 b^{3} \\=&\left(x^{2}\right)^{3}+(2 b)^{3} \\=&\left(x^{2}+2 b\right)\left[\left(x^{2}\right)^{2}-x^{2} \times 2 b+(2 b)^{2}\right] \\=&\left(x^{2}+2 b\right)\left(x^{4}-2 x^{2} b+4 b^{2}\right) \end{aligned}$

Question 10

8a³ + 21b³

Sol :

$\begin{aligned} =& 8 a^{3}+27 b^{3} \\=&(2 a)^{3}+(3 b)^{3} \\=&(2 a+3 b)\left[(2 a)^{3}-2 a \times 3 b+(3 b)^{2}\right] \\=&(2 a+3 b)\left(4 a^{2}-6 a b+9 b^{2}\right) \end{aligned}$

Question 11

27x³ – 8y³

Sol :

$=27 x^{3}-8 y^{3}$

$=(3 x)^{3}-(2 y)^{3}$

$=(3 x-2 y)\left[(3 x)^{2}+3 x \times 2 y+(2 y)^{2}\right]$

$=(3 x-2 y)\left(9 x^{2}+6 x y+4 y^{2}\right)$

Question 12

128x³ + 2

Sol :

$\begin{aligned} =& 128 x^{3}+2 \\=& 2\left(64 x^{3}+1\right) \\=& 2\left[(4 x)^{3}+(1)^{3}\right] \\=& 2(4 x+1)\left[(4 x)^{2}-4 x \times 1+(1)^{2}\right] \\=& 2[4 x+2)\left(16 x^{2}-4 x+1\right) \end{aligned}$

Question 13

Factorise : 

$8x^3– \frac{1}{27}y^3$

Sol :

$=8 x^{3}-\frac{1}{27 y^{3}}$

$=(2 x)^{3}-\left(\frac{1}{3} y\right)^{3}$

$=\left(2 x-\frac{1}{3} y\right)\left[(2 x)^{2}+2 x \times \frac{1}{3} y+\left(\frac{1}{3} y\right)^{2}\right]$

$=\left(2 x-\frac{1}{9} y\right)\left(4 x^{2}+\frac{2}{3} x y+\frac{1}{9} y^{2}\right)$

Question 14

$343 x^{3} y+512 y^{4}$

Sol :

$=343 x^{3} y+512 y^{4}$

$=y\left(343 x^{3}+512 y^{3}\right)$

$=y\left[(7 x)^{3}+(8 y)^{3}\right]$

$=y\left[(7 x+8 y)\left[(7 x)^{2}-7 x \times 8 y+(8 y)^{2}\right]\right]$

$=y(7 x+8 y)\left(49 x^{2}-56 x y+64 y^{2}\right)$

Question 15

(2a + b)³ + (a + 2b)³

Sol :

$=(2 a b+b)^{3}+(a+2 b)^{3}$

Let 2a+b=x and a+2b=y

$\left(x^{3}\right)+(y)^{3}$

$=(x+y)\left(x^{2}-x y+y^{2}\right)$

$=(2 a+b)^{3}+(a+2 b)^{3}=(2 a+b+2 b)$

$=\left[(2 a+b)^{2}-(2 a+b)(a+2 b)+(a+2 b)^{2}\right]$

$\begin{aligned}&=(3 a+3 b)(4 a^{2}+4 a b+b^{2}-2 a^{2}-4 a b-a b-2 b^{2}+a^{2}+4 b^{2}+4 a b\end{aligned}$

$=3(a+b)\left[3 a^{2}+3 a b+3 b^{2}\right]$

$=3(a+b) 3\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$

$=9(a+b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$

Question 16

27 (m + 2n)³ + (m – 6n)³

Sol :

$=27(m+2 n)^{3}+(m-6 n)^{3}$

Let m+2n=a and m-6n=b

$27 a^{3}+b^{3}=(3 a)^{3}+(b)^{3}$

$=(3 a+b)\left[(3 a)^{2}-3 a b+(b)^{2}\right]$

$=(3 a+b)\left(9 a^{2}-3 a b+b^{2}\right)$

So, $27(m+2 n)^{3}+(m-6 n)^{3}=[3(m+2 n)+m-6 n]\left[9(m-2 n)^{2}-3(m+2n)(m-6n)+(m-6n)^2\right.$

$=[3 m+6 n+m-6 n]\left[9\left(m^{2}+4 n^{2}+4 m n\right)-3\left(m^{2}-6 m n+2 m n-12n^2)+m^2+36n^2-12mn]\right.\right.$

$=4 m\left[9 m^{2}+36 n^{2}+36 m n-3m^{2}+18 m n-6 m n+36 n^{2}+m^2+36n^2-12mn\right]$

$=4 m\left[7 m^{2}+36 m n+408 n^{2}\right]$

Question 17

8 (a + b)³ – 21c³

Sol :

$=8(a+b)^{3}-27(c)^{3}$

$=[2(a+b)]^{3}-(3 c)^{3}$

$=[2(a+b)-3 c]\left[\left\{2(a+b\}^{2}+2(a+b) 3 c+(3 c)^{2}\right]\right.$

$=(2 a+2 b-3 c)\left[4\left(a^{2}+b^{2}+2 a b\right)+6 a c+6 b c+9 c^{2}\right]$

$=(2 a+2 b-3 c)\left[4 a^{2}+4 b^{2}+8 a b+6 a c+6 b c+9 c^{2}\right]$

$=(2 a+2 b-3 c)\left(4 a^{2}+4 b^{2}+9 c^{2}+8 a b+6 a c+6 b c\right)$

Question 18

$x^{6}-1$

Sol :

$=x^{6}-1$

$=\left(x^{3}\right)^{2}-(1)^{2}$

$=\left(x^{3}+1\right)\left(x^{3}-1\right)$

$=\left[(x)^{3}+(1)^{2}\right]\left[(x)^{3}-(1)^{3}\right]$

$=(x+1)\left(x^{2}-x+1\right)(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)$

$=(x+1)(x-1)\left(x^{2}-x+1\right)\left(x^{2}+x+1\right)$

Question 19

$64 a^{6}-b^{6}$

Sol :

$=64 a^{6}-b^{6}$

$=\left(8 a^{3}\right)^{2}-\left(b^{3}\right)^{2}$

$=\left(8 a^{3}+b^{3}\right)\left(8 a^{3}-b^{3}\right)$

$=\left[(2 a)^{3}+(b)^{3} ]\left[(2 a)^{3}-(b)^{3}\right]\right.$

$=(2 a+b)\left[(2 a)^{2}-2 a \times b+(b)^{2}\right](2 a-b)\left[(2 a)^{2}+2 a \times b+b^{2}\right]$

$=(2 a+b)\left(4 a^{2}-2 a b+b^{2}\right)(2 a-b)\left(4 a^{2}+2 a b+b^{2}\right)$

$=(2 a+b)(2 a-b)\left(4 a^{2}+2 a b+b^{2}\right)\left(4 a^{2}-2 a b+b^{2}\right)$

Question 20

a³ – b³ + 4 (a – b)

Sol :

$\begin{aligned} =&a^{3}-b^{3}+4(a-b) \\=&(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)+u(a-b) \\=&(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{3}+4\right) \end{aligned}$

Question 21

$x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-6 x+\frac{6}{x}$

Sol :

$\begin{aligned} =& x^{3}-\frac{1}{x^{3}}-6 x+\frac{6}{x} \\=&\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}\right)-6\left(x-\frac{1}{x}\right) \\=&\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}-6\right) \\=&\left(x-\frac{1}{x}\right)\left(x^{2}-5+\frac{1}{x^{2}}\right) \end{aligned}$

Question 22

64a³ + 125b³ + 12a²b + 15ab²

Sol :

$\begin{aligned} = &64 a^{3}+125 b^{3}+12 a^{2} b+15 a b^{2} \\=&\left[(4a)^{3}+(5 b)^{3}\right]+3 a b(4 a+5 b) \\=&(4 a+5 b)\left[(4 a)^{2}-4 a \times 5 b +(5 b)^{2}\right]+3 a b(4a+5b) \end{aligned}$

$=(4 a+5 b)\left(16 a^{2}-20 a b+25 b^{2}\right)+3 a b(4 a+5 b)$

$=(4 a+5 b)\left(16 a^{2}-20 a b+25 b^{2}+3 a b\right)$

$=(4 a+s b)\left(16 a^{2}-17 a b+25 b^{2}\right)$

Question 23

375 (a – b)³+ 3

Sol :

$=375(a-b)^{3}+3$

$=3\left[125(a-b)^{3}+1\right]$

$=3\left[\left\{5(a-b) y^{3}+(1)^{3}\right]\right.$

$=3\left[\{5(a-b)+1\}\left\{(5(a-b)\}^{2}-5\left(a-b \times 1+(1)^{2}\right]\right.\right.$

$=3\left[(5 a-5 b+1)\left(25\left(a^{2}+b^{2}-2 a b\right)-5 a+5 b+1\right)\right]$

$=3(5 a-5 b+1)\left(25 b^{2}-50 a b-5 a+5 b+1\right)$

Question 24

$a^{4}+b^{4}=a^{2} b^{2}$ , Show that $a^{6}+b^{6}=0$

Sol :

$a^{4}+b^{4}=a^{2} b^{2}$

L.H.S

$=a^{6}+b^{6}=\left(a^{2}\right)^{3}+\left(b^{2}\right)^{3}$

$=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left[a^{4}-a^{2} b^{2}+b^{4}\right]$

$=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{4}+b^{4}-a^{2} b^{2}\right)$

$=\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{2} b^{2}-a^{2} b^{2}\right)$

$a^{4}+b^{4}=a^{2} b^{2}$ already given

$=\left(a^{2}+b^{2}\right) \times 0=0$

R.H.S

L.H.S=R.H.S